Die Kompaktheit im topologischen Raum [German]

By Marcel Dahlmann

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges, Note: 1,9, Humboldt-Universit t zu Berlin, Sprache: Deutsch, Abstract: Die vorliegende Arbeit mit dem Titel "kompakte topologische R ume" stellt eine Abhandlung ber den Begriff der Kompaktheit in einem Topologischen Raum dar. Was wir unter einem topologischen Raum verstehen wollen, sowie die f r diese Arbeit relevanten Begriffe werden in Kapitel 1 "Einf hrung und Notation" anschaulich an Beispielen dargestellt. Als Grundlage dieser Arbeit dient uns das Lemma von Zorn. Wegen der bekannten quivalenz zum Auswahlaxiom, versetzen wir uns damit auch in die komfortable Lage aus Mengen gewisse Elemente ausw hlen zu k nnen. Ferner setzen wir Kenntnisse im Umgang mit Mengen und allgemein mit metrischen R umen voraus und nutzen diese an vereinzelten Stellen aus. In Kapitel 2 "Kompaktheit" f hren wir dann den relevanten Begriff der Kompaktheit ein und studieren seinen Einfluss auf die in Abschnitt 1.3 eingef hrten Trennungseigenschaften. Seine Tragweite wird in Satz 2.12 formuliert werden. Nach diesem Abschnitt werden wir Kompaktheit mit einer gewissen Endlichkeitseigenschaft kennen gelernt haben. Das motiviert zu der Vermutung, dass wir in der Unendlichkeit und damit bei Produkten wie sie in Abschnitt 1.2 "Erzeugung topologischer R ume" eingef hrt werden, nicht erwarten kompakte Strukturen vorzufinden. Doch das Gegenteil ist der Fall, das fomulieren wir in Satz 2.21, dem Satz von Tychnoff. Den Beweis f hren wir dabei indem wir das Lemma von Zorn 2.20 ausnutzen und dieses auf Ketten von Mengen mit endlicher Durchschnittseigenschaft anwenden werden. Vorab f hren wir alle daf r relevanten Begriffen ein. Die Arbeit schlie t letztlich mit einem "Ausblick: Metrisierbarkeit" von topologischen R umen. Das Wort Ausblick wurde gew hlt, da wir uns hier weniger mit der Metrisierbarkeit als solche befassen - daf r fehlen S tze wie der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn -, vielmehr diskutieren wir die Rolle der Kompak

• Format: Paperback
• Language: German
• ISBN: 3656767408
• ISBN13: 9783656767404
• Release Date: October 2014
• Publisher: Grin Verlag
• Length: 30 Pages
• Weight: 0.11 lbs.
• Dimensions: 0.1" x 5.8" x 8.3"